Come risolvere i sistemi lineari

I sistemi lineari sono quei sistemi composti da più equazioni e si dividono in compatibili (se hanno almeno una soluzione) e incompatibili (se non hanno soluzioni). A loro volta, i sistemi compatibili si dividono in determinati (se hanno una sola soluzione) e indeterminati (se hanno più di una soluzione). I metodi per svolgere e risolvere questi sistemi sono diversi: ad esempio, il metodo per sostituzione oppure attraverso le matrici, ma cosa importante è riconoscere i vari casi per poter semplificare il nostro lavoro.

Vediamo un esempio pratico di sistema lineare:

x1+x2+3×3=0
x1-4×3+3×3=0
5×1-3×2+x3=0

L’esempio sopra viene definito omogeneo, in quanto differisce dai normali sistemi per la mancanza di termini costanti. Questo vuol dire che, oltre ai termini che presentano la variabile x, non sono presenti altri termini. I sistemi lineari normali e quelli omogenei hanno uno svolgimento diverso, perchè hanno caratteristiche diverse. Quindi per trovare le varie soluzioni dei sistemi lineari bisogna studiare i diversi casi che queste due tipologie di sistemi presentano. Ecco come fare:

caso 1 – sistema lineare omogeneo

Se il denominatore è diverso da 0 non esistono altre soluzioni; ma se il denominatore è uguale a 0, allora esistono infinite soluzioni ( in questo caso, potete svolgere il sistema con il metodo della sostituzione e se, ad esempio, alla fine sarà: x=3s+4t si potrà dire che la soluzione è doppiamente infinita).

– Per quali valori di k il sistema non ha nessuna soluzione? Nessuno, non succede mai.
– Per quali valori di k il sistema ha almeno una soluzione? Quando il denominatore si annulla
– Per quali valori di k il sistema ha più di una soluzione? Quando il denominatore è uguale a 0
– Per quali valori di k il sistema ha una ed una sola soluzione? Quando il denominatore è diverso da 0.
– Quando la soluzione è unica? Per x1=x2=x3 = 0

caso 2 – sistemi lineari non omogenei

In questo caso, oltre ai valori con la x , sono presenti altri termini nel sistema.

• Per quali valori di k il sistema non ammette nessuna soluzione? Quando si annulla il denominatore ma non il numeratore.
• Per quali valori di k il sistema possiede almeno una soluzione? Quando si annulla solo il denominatore, ma il valore k deve essere diverso.
• Per quali valori di k il sistema possiede più di una soluzione? Quando si annullano numeratore e denominatore.
• Per quali valori di k il sistema possiede una ed una sola soluzione? Non si devono annullare il denominatore ed il numeratore per gli stessi valori: (2k-3)/(k(2k-3)) – K deve essere diverso da 0 e da 3/2.
• Quando la soluzione è unica? Si può risolvere il sistema e il denominatore deve essere necessariamente diverso da 0.